A matemática da bolha em progressive knockout: por que 99 ainda é fold

Dez jogadores restam em um progressive knockout de $22 e nove são pagos. O hero está no big blind com 99 e 14 big blinds. O cutoff dá shove de 12 big blinds com um bounty de $15 na cabeça.

A conta de fichas manda pagar. 99 tem 57,1% de equity contra um range de shove de 19%, e o chip EV precisa de apenas 45,3%. O ICM eleva a equity exigida para 63,3%. A cabeça de $15 baixa para 60,5%, o que ainda deixa 99 abaixo. O cálculo abaixo usa os tamanhos de stack e a estrutura de premiação.

O spot

Torneio: progressive knockout de $22, 180 jogadores. O prize pool de $1.800 e o bounty pool de $1.800 são divididos igualmente.
Situação: 10 jogadores restantes, 9 pagos. O décimo lugar não leva nada; o nono paga $100 e o vencedor leva $480.
Blinds: 500 / 1.000 com um ante de 100, então 2.500 está no meio antes da ação.
Hero: big blind, 14.000 atrás depois de postar.
Cutoff: 12.000, dá shove. A cabeça de $15 é um bounty inicial de $10 mais um knockout.
Range: cerca de 19% das melhores mãos, algo como 22+, A2s+, K9s+, QTs+, JTs, T9s, 98s, ATo+, KJo+.

O hero cobre o cutoff. O call é de 12.000 em um pote final de 26.500.

Passo 1: o preço em chip EV

Pagar 12.000 para ganhar 26.500 precisa de 45,3%:

Preço: 12.000 ÷ 26.500 = 45,3%

Contra esse range, 99 tem 57,1% de equity de um Monte Carlo de 60.000 rodadas com semente fixa. Em fichas, o call retorna 3.129:

Chip EV: 0,571 × 26.500 − 12.000 = +3.129 fichas

A margem é de 11,8 pontos, então o chip EV transforma isso em call.

Passo 2: o ICM muda o preço

O ICM converte cada stack em uma fatia do prize pool. Com 10 jogadores restantes e nove pagos, os três resultados valem:

Resultado	Stack do hero	Equity de ICM do hero
Fold	14.000	$190
Vence o all-in	28.500	$261
Perde o all-in	2.000	$68

A equity de equilíbrio entre foldar e pagar:

Equity de equilíbrio: (190 − 68) ÷ (261 − 68) = 63,3%

Com 57,1%, o call vale cerca de menos $12 em equity de prêmio. A diferença de 18 pontos entre 45,3% e 63,3% é o prêmio de risco.

A maior parte dessa diferença está no ramo da derrota. Um stack de 2.000 fichas com 10 jogadores restantes é 1,5% das fichas em jogo, e as duas mãos seguintes colocam 1.700 fichas no meio em blinds e antes. Foldar mantém um stack de 14bb. O bubble factor para uma transferência desse tamanho é cerca de 1,23, então uma ficha perdida custa cerca de 23% mais equity de prêmio do que uma ficha ganha adiciona.

Passo 3: precificando o bounty

Metade da cabeça de $15 é paga em dinheiro no knockout. A outra metade é somada ao bounty do vencedor e só paga se aquele jogador vencer o torneio. O modelo avalia a metade adicionada em 20,8% do valor de face aqui.

$7,50 em dinheiro no knockout.
$7,50 adicionados ao bounty do vencedor, valendo cerca de $1,56.
Valor total do bounty: cerca de $9,06.

Somar $9,06 ao ramo da vitória baixa a equity exigida de 63,3% para 60,5%. 99 com 57,1% ainda fica abaixo dessa linha:

Call ajustado pelo bounty: 0,571 × (261 + 9,06) + 0,429 × 68 − 190 ≈ −$7

O mesmo limite em algumas mãos:

Mão	Equity contra o range	Paga em 60,5%?
QQ	69,5%	Sim
JJ	65,3%	Sim
TT	61,0%	Sim, por pouco
AKs	60,9%	Sim, por pouco
AKo	58,9%	Não
99	57,1%	Não
AQs	56,7%	Não
77	52,2%	Não
AJo	51,1%	Não
33	42,9%	Não

Nesse preço, o range de call é cerca de TT+ e AKs. Com a cabeça de $15 incluída, o resto da lista perde dinheiro.

Quando o bounty muda a decisão

O bounty move o limite neste spot em 2,8 pontos. Várias outras entradas o movem mais:

Mudança em relação à base	Equity exigida	Decisão com 99
Cabeça do cutoff é $30	57,9%	Folda, por menos de um ponto
Cabeça do cutoff é $40	56,3%	Paga
Cutoff dá shove de 6bb em vez de 12bb	44,1%	Paga
Hero tem 30bb em vez de 14bb	46,0%	Paga
Cutoff dá shove com um range wide de 35%	60,5% (99 tem 61,9%)	Paga

Uma cabeça de $30 baixa o limite para 57,9%, que fica 0,8 pontos acima de 99.
Uma cabeça de $40 baixa para 56,3%, e 99 vira call.
Contra um shove de 6bb o limite cai para 44,1%, já que uma derrota deixa um stack de 8bb.
Com 30bb atrás, o limite é 46,0%, já que uma derrota não encerra mais o torneio.
Contra um range de shove de 35%, 99 tem 61,9% de equity e passa do limite de 60,5%.

As quatro entradas

Quatro entradas decidem um call de bolha como este:

Preço em chip EV. O valor do call dividido pelo pote final. Ele define a base.
Preço de ICM. Reconstrua os stacks de fold, vitória e derrota e compare a equity de prêmio. Uma bolha direta com um stack curto normalmente adiciona um prêmio de risco de dois dígitos.
Valor do bounty. Metade da cabeça é dinheiro. A metade adicionada é equity de torneio, então vale menos que o valor de face.
Risco de eliminação. Uma derrota que deixa um stack jogável reduz o custo de ICM. Uma derrota que deixa 2bb o eleva.

Tanto o bounty quanto o custo de ICM pertencem ao mesmo cálculo de equity de prêmio. Neste spot, a cabeça de $15 move o limite de 63,3% para 60,5%, e 99 precisa de mais 3,4 pontos. Foldar vale cerca de $7 mais do que pagar.

Como esses números foram produzidos

As equities de stack usam o modelo de ICM Malmuth-Harville, calculado exatamente para os 10 jogadores restantes. As equities de mão são execuções de Monte Carlo com semente de 60.000 showdows contra o range declarado. O modelo de progressive knockout paga 50% do bounty do jogador eliminado em dinheiro e adiciona 50% ao bounty do eliminador, avaliando essa metade adicionada pela fatia de fichas do eliminador depois da mão, que é 20,8% neste spot. O modelo cobre uma mão e não simula estados futuros do jogo, então trate como uma estimativa de mão única. Os números estão arredondados, então diferenças abaixo de um décimo de ponto são ruído.