Matemáticas de la burbuja en un progressive knockout: por qué 99 sigue siendo fold

Quedan diez jugadores en un progressive knockout de $22 y pagan nueve. El héroe está en la ciega grande con 99 y 14 ciegas grandes. El cutoff hace shove por 12 ciegas grandes y lleva un bounty de $15 sobre la cabeza.

Las matemáticas de fichas dicen call. 99 tiene un 57,1% de equidad contra un rango de shove del 19%, y el EV de fichas solo necesita un 45,3%. El ICM sube la equidad necesaria al 63,3%. La cabeza de $15 la baja al 60,5%, lo que todavía deja corta a 99. El cálculo de abajo usa los tamaños de stack y la estructura de pagos.

El spot

• Torneo: progressive knockout de $22, 180 jugadores. El bote de premios de $1,800 y el bote de bounties de $1,800 se reparten a partes iguales.
• Situación: quedan 10 jugadores y pagan 9. El décimo no se lleva nada; el noveno cobra $100 y el ganador se lleva $480.
• Ciegas: 500 / 1.000 con un ante de 100, así que hay 2.500 en el centro antes de la acción.
• Héroe: ciega grande, 14.000 detrás después de pagar.
• Cutoff: 12.000, hace shove. La cabeza de $15 es un bounty inicial de $10 más un knockout.
• Rango: aproximadamente el 19% superior de las manos, algo como 22+, A2s+, K9s+, QTs+, JTs, T9s, 98s, ATo+, KJo+.

El héroe cubre al cutoff. El call es de 12.000 para un bote final de 26.500.

Paso 1: el precio en EV de fichas

Pagar 12.000 para ganar 26.500 necesita un 45,3%:

Precio: 12.000 ÷ 26.500 = 45,3%

Contra ese rango, 99 tiene un 57,1% de equidad según un Monte Carlo de 60.000 ejecuciones con semilla. En fichas, el call devuelve 3.129:

EV de fichas: 0,571 × 26.500 − 12.000 = +3.129 fichas

El margen es de 11,8 puntos, así que el EV de fichas convierte esto en un call.

Paso 2: el ICM cambia el precio

El ICM convierte cada stack en una parte del bote de premios. Con 10 jugadores y nueve plazas pagadas, los tres desenlaces valen:

Desenlace	Stack del héroe	Equidad ICM del héroe
Fold	14.000	$190
Ganar el all-in	28.500	$261
Perder el all-in	2.000	$68

La equidad de equilibrio entre fold y call:

Equidad de equilibrio: (190 − 68) ÷ (261 − 68) = 63,3%

Con un 57,1%, el call vale unos −$12 en equidad de premio. La diferencia de 18 puntos entre el 45,3% y el 63,3% es la prima de riesgo.

La mayor parte de esa diferencia está en la rama de la derrota. Un stack de 2.000 fichas con 10 jugadores es el 1,5% de las fichas en juego, y las dos manos siguientes meten 1.700 fichas en el centro en ciegas y antes. Hacer fold conserva un stack de 14 bb. El factor de burbuja de una transferencia de este tamaño es de aproximadamente 1,23, así que una ficha perdida cuesta un 23% más de equidad de premio que lo que añade una ficha ganada.

Paso 3: poner precio al bounty

La mitad de la cabeza de $15 se paga en efectivo en el knockout. La otra mitad se suma al bounty del ganador y solo se paga si ese jugador gana el torneo. El modelo valora aquí la mitad añadida en un 20,8% de su valor nominal.

• $7.50 en efectivo por el knockout.
• $7.50 añadidos al bounty del ganador, que valen unos $1.56.
• Valor total del bounty: unos $9.06.

Añadir $9.06 a la rama de la victoria baja la equidad necesaria del 63,3% al 60,5%. 99 con un 57,1% sigue por debajo de esa línea:

Call ajustado por bounty: 0,571 × (261 + 9.06) + 0,429 × 68 − 190 ≈ −$7

El mismo umbral para varias manos:

Mano	Equidad vs rango	¿Call al 60,5%?
QQ	69,5%	Sí
JJ	65,3%	Sí
TT	61,0%	Sí, por poco
AKs	60,9%	Sí, por poco
AKo	58,9%	No
99	57,1%	No
AQs	56,7%	No
77	52,2%	No
AJo	51,1%	No
33	42,9%	No

A este precio, el rango de call es más o menos TT+ y AKs. Con la cabeza de $15 incluida, el resto de la lista pierde dinero.

Cuándo cambia la decisión el bounty

El bounty mueve el umbral en este spot 2,8 puntos. Otros cuantos factores lo mueven más:

Cambio respecto a la base	Equidad necesaria	Decisión con 99
La cabeza del cutoff es de $30	57,9%	Fold, por menos de un punto
La cabeza del cutoff es de $40	56,3%	Call
El cutoff hace shove por 6 bb en vez de 12 bb	44,1%	Call
El héroe tiene 30 bb en vez de 14 bb	46,0%	Call
El cutoff hace shove con un rango amplio del 35%	60,5% (99 tiene 61,9%)	Call

• Una cabeza de $30 baja el umbral al 57,9%, que está 0,8 puntos por encima de 99.
• Una cabeza de $40 lo baja al 56,3%, y 99 pasa a ser call.
• Contra un shove de 6 bb el umbral cae al 44,1%, porque una derrota deja un stack de 8 bb.
• Con 30 bb detrás, el umbral es del 46,0%, porque una derrota ya no termina el torneo.
• Contra un rango de shove del 35%, 99 tiene un 61,9% de equidad y supera el umbral del 60,5%.

Los cuatro factores

Cuatro factores deciden un call de burbuja como este:

1. Precio en EV de fichas. El importe del call dividido por el bote final. Marca la base.
2. Precio de ICM. Reconstruye los stacks de fold, victoria y derrota, y compara la equidad de premio. Una burbuja directa con un stack corto suele añadir una prima de riesgo de dos dígitos.
3. Valor del bounty. La mitad de la cabeza es efectivo. La mitad añadida es equidad de torneo, así que vale menos que su valor nominal.
4. Riesgo de eliminación. Una derrota que deja un stack jugable reduce el coste de ICM. Una derrota que deja 2 bb lo aumenta.

Tanto el bounty como el coste de ICM pertenecen al mismo cálculo de equidad de premio. En este spot, la cabeza de $15 mueve el umbral del 63,3% al 60,5%, y a 99 le faltan otros 3,4 puntos. El fold vale unos $7 más que el call.

Cómo se generaron estas cifras

Las equidades de stack usan el modelo ICM de Malmuth-Harville, calculado de forma exacta para los 10 jugadores restantes. Las equidades de las manos son ejecuciones Monte Carlo con semilla de 60.000 showdowns contra el rango indicado. El modelo de progressive knockout paga el 50% del bounty del jugador eliminado en efectivo y añade el 50% al bounty del eliminador, valorando esa mitad añadida según la cuota de fichas del eliminador después de la mano, que en este spot es del 20,8%. El modelo cubre una mano y no simula estados futuros del juego, así que tómalo como una estimación de una sola mano. Las cifras están redondeadas, así que las diferencias por debajo de una décima de punto son ruido.