Maths de la bulle en Progressive Knockout : pourquoi 99 reste un fold

Dix joueurs restent dans un progressive knockout à $22 et neuf sont payés. Hero est en grosse blinde avec 99 et 14 grosses blindes. Le cutoff envoie tapis 12 grosses blindes avec une prime de $15 sur la tête.

Le calcul en jetons dit de payer. 99 a 57,1% d’equity contre un range de shove à 19%, et le chip EV ne demande que 45,3%. L’ICM fait monter l’equity requise à 63,3%. La prime de $15 la fait baisser à 60,5%, ce qui laisse encore 99 en dessous. Le calcul ci-dessous utilise les tailles de stack et la structure de paiement.

Le spot

Tournoi: progressive knockout à $22, 180 joueurs. Le prize pool de $1 800 et le pool de primes de $1 800 sont répartis à parts égales.
Situation: 10 joueurs restants, 9 payés. La dixième place ne rapporte rien ; la neuvième paie $100 et le vainqueur empoche $480.
Blindes: 500 / 1 000 avec une ante de 100, donc 2 500 au milieu avant l’action.
Hero: grosse blinde, 14 000 derrière après avoir posté.
Cutoff: 12 000, envoie tapis. La prime de $15 correspond à une prime de départ de $10 plus un knockout.
Range: environ le top 19% des mains, quelque chose comme 22+, A2s+, K9s+, QTs+, JTs, T9s, 98s, ATo+, KJo+.

Hero couvre le cutoff. Le call est de 12 000 dans un pot final de 26 500.

Étape 1 : le prix en chip EV

Payer 12 000 pour gagner 26 500 demande 45,3% :

Prix: 12 000 ÷ 26 500 = 45,3%

Contre ce range, 99 a 57,1% d’equity selon une Monte Carlo à graine fixe de 60 000 itérations. En jetons, le call rapporte 3 129 :

Chip EV: 0,571 × 26 500 − 12 000 = +3 129 jetons

La marge est de 11,8 points, donc le chip EV en fait un call.

Étape 2 : l’ICM change le prix

L’ICM convertit chaque stack en part du prize pool. Avec 10 joueurs restants et neuf payés, les trois issues valent :

Issue	Stack de Hero	Equity ICM de Hero
Fold	14 000	$190
Gagne l’all-in	28 500	$261
Perd l’all-in	2 000	$68

L’equity d’équilibre entre le fold et le call :

Equity d’équilibre: (190 − 68) ÷ (261 − 68) = 63,3%

À 57,1%, le call vaut environ moins $12 en equity de prize. L’écart de 18 points entre 45,3% et 63,3% est la prime de risque.

La majeure partie de cet écart se trouve dans la branche perdante. Un stack de 2 000 jetons avec 10 joueurs restants représente 1,5% des jetons en jeu, et les deux mains suivantes placent 1 700 jetons au milieu en blindes et antes. Se coucher conserve un stack de 14bb. Le bubble factor pour un transfert de cette taille est d’environ 1,23, donc un jeton perdu coûte environ 23% de plus en equity de prize qu’un jeton gagné n’en ajoute.

Étape 3 : donner un prix à la prime

La moitié de la prime de $15 est payée en cash sur le knockout. L’autre moitié est ajoutée à la prime du vainqueur et n’est versée que si ce joueur remporte le tournoi. Le modèle valorise la moitié ajoutée à 20,8% de sa valeur nominale ici.

$7,50 en cash sur le knockout.
$7,50 ajoutés à la prime du vainqueur, valant environ $1,56.
Valeur totale de la prime: environ $9,06.

Ajouter $9,06 à la branche gagnante fait baisser l’equity requise de 63,3% à 60,5%. 99 à 57,1% reste sous cette ligne :

Call ajusté de la prime: 0,571 × (261 + 9,06) + 0,429 × 68 − 190 ≈ −$7

Le même seuil sur quelques mains :

Main	Equity vs range	Call à 60,5% ?
QQ	69,5%	Oui
JJ	65,3%	Oui
TT	61,0%	Oui, de justesse
AKs	60,9%	Oui, de justesse
AKo	58,9%	Non
99	57,1%	Non
AQs	56,7%	Non
77	52,2%	Non
AJo	51,1%	Non
33	42,9%	Non

À ce prix, le range de call se limite à peu près à TT+ et AKs. Prime de $15 incluse, le reste de la liste perd de l’argent.

Quand la prime change la décision

La prime déplace le seuil de 2,8 points dans ce spot. Plusieurs autres paramètres le déplacent davantage :

Changement par rapport à la référence	Equity requise	Décision pour 99
La prime du cutoff est de $30	57,9%	Fold, de moins d’un point
La prime du cutoff est de $40	56,3%	Call
Le cutoff envoie tapis 6bb au lieu de 12bb	44,1%	Call
Hero a 30bb au lieu de 14bb	46,0%	Call
Le cutoff envoie tapis un range large à 35%	60,5% (99 a 61,9%)	Call

Une prime de $30 fait baisser le seuil à 57,9%, soit 0,8 point au-dessus de 99.
Une prime de $40 le fait baisser à 56,3%, et 99 devient un call.
Face à un tapis de 6bb, le seuil tombe à 44,1%, puisqu’une perte laisse un stack de 8bb.
Avec 30bb derrière, le seuil est de 46,0%, puisqu’une perte ne met plus fin au tournoi.
Face à un range de shove à 35%, 99 a 61,9% d’equity et dépasse le seuil de 60,5%.

Les quatre paramètres

Quatre paramètres décident d’un call de bulle comme celui-ci :

Prix en chip EV. Le montant du call divisé par le pot final. Il fixe la référence.
Prix ICM. Reconstruis les stacks en cas de fold, de victoire et de défaite, puis compare l’equity de prize. Une bulle directe avec un petit stack ajoute généralement une prime de risque à deux chiffres.
Valeur de la prime. La moitié de la prime est du cash. La moitié ajoutée est de l’equity de tournoi, donc elle vaut moins que sa valeur nominale.
Risque d’élimination. Une perte qui laisse un stack jouable réduit le coût ICM. Une perte qui laisse 2bb l’augmente.

La prime et le coût ICM appartiennent au même calcul d’equity de prize. Dans ce spot, la prime de $15 fait passer le seuil de 63,3% à 60,5%, et 99 a besoin de 3,4 points de plus. Se coucher vaut environ $7 de plus que payer.

Comment ces chiffres ont été produits

Les equity de stack utilisent le modèle ICM de Malmuth-Harville, calculé exactement pour les 10 joueurs restants. Les equity de mains sont des tirages Monte Carlo à graine fixe de 60 000 showdowns contre le range indiqué. Le modèle de progressive knockout paie 50% de la prime du joueur éliminé en cash et ajoute 50% à la prime de l’éliminateur, en valorisant cette moitié ajoutée par la part de jetons de l’éliminateur après la main, soit 20,8% dans ce spot. Le modèle couvre une seule main et ne simule pas les états de jeu futurs, donc traite-le comme une estimation à une main. Les chiffres sont arrondis, donc les écarts inférieurs à un dixième de point sont du bruit.