Progressive-Knockout-Bubble-Mathematik: Warum 99 immer noch ein Fold ist

Zehn Spieler bleiben in einem Progressive Knockout für 22 $ übrig, und neun werden bezahlt. Hero sitzt im Big Blind mit 99 und 14 Big Blinds. Der Cutoff shovt 12 Big Blinds, mit einem Bounty von 15 $ auf seinem Kopf.

Die Chip-Rechnung sagt Call. 99 hat 57,1 % Equity gegen eine Shoving-Range von 19 %, und Chip EV braucht nur 45,3 %. ICM hebt die benötigte Equity auf 63,3 %. Der Kopf von 15 $ senkt sie auf 60,5 %, was 99 weiterhin nicht reicht. Die folgende Rechnung nutzt die Stackgrößen und die Auszahlungsstruktur.

Der Spot

Turnier: Progressive Knockout für 22 $, 180 Starter. Der Preispool von 1.800 $ und der Bounty-Pool von 1.800 $ sind gleichmäßig aufgeteilt.
Situation: 10 Spieler übrig, 9 werden bezahlt. Der zehnte Platz bekommt nichts; der neunte zahlt 100 $ und der Sieger nimmt 480 $.
Blinds: 500 / 1.000 mit einem Ante von 100, also liegen vor der Action 2.500 in der Mitte.
Hero: Big Blind, 14.000 dahinter nach dem Setzen.
Cutoff: 12.000, shovt. Der Kopf von 15 $ ist ein Startbounty von 10 $ plus ein Knockout.
Range: etwa die besten 19 % der Hände, ungefähr 22+, A2s+, K9s+, QTs+, JTs, T9s, 98s, ATo+, KJo+.

Hero deckt den Cutoff ab. Der Call sind 12.000 in einen Endpot von 26.500.

Schritt 1: der Chip-EV-Preis

12.000 zu callen, um 26.500 zu gewinnen, braucht 45,3 %:

Preis: 12.000 ÷ 26.500 = 45,3 %

Gegen diese Range hat 99 57,1 % Equity aus einem geseedeten Monte Carlo mit 60.000 Läufen. In Chips bringt der Call 3.129:

Chip EV: 0,571 × 26.500 − 12.000 = +3.129 Chips

Die Marge beträgt 11,8 Punkte, Chip EV macht daraus also einen Call.

Schritt 2: ICM verändert den Preis

ICM rechnet jeden Stack in einen Anteil am Preispool um. Bei 10 verbleibenden Spielern und neun bezahlten Plätzen sind die drei Ergebnisse so viel wert:

Ergebnis	Heroes Stack	ICM-Equity von Hero
Fold	14.000	190 $
All-in gewinnen	28.500	261 $
All-in verlieren	2.000	68 $

Die Break-even-Equity zwischen Folden und Callen:

Break-even-Equity: (190 − 68) ÷ (261 − 68) = 63,3 %

Bei 57,1 % ist der Call etwa minus 12 $ an Preis-Equity wert. Der Abstand von 18 Punkten zwischen 45,3 % und 63,3 % ist die Risikoprämie.

Der größte Teil dieses Abstands steckt im Verlustzweig. Ein Stack von 2.000 Chips bei 10 verbleibenden Spielern sind 1,5 % der Chips im Spiel, und die nächsten zwei Hände legen 1.700 Chips an Blinds und Antes in die Mitte. Folden behält einen 14-bb-Stack. Der Bubble-Faktor für einen Transfer dieser Größe liegt bei etwa 1,23, ein verlorener Chip kostet also etwa 23 % mehr Preis-Equity, als ein gewonnener hinzufügt.

Schritt 3: die Bounty bepreisen

Die Hälfte des Kopfes von 15 $ wird beim Knockout in Cash ausgezahlt. Die andere Hälfte wird dem Bounty des Gewinners hinzugefügt und zahlt nur aus, wenn dieser Spieler das Turnier gewinnt. Das Modell bewertet die hinzugefügte Hälfte hier mit 20,8 % des Nennwerts.

7,50 $ in Cash für den Knockout.
7,50 $ hinzugefügt zum Bounty des Gewinners, etwa 1,56 $ wert.
Gesamtwert der Bounty: etwa 9,06 $.

9,06 $ zum Gewinnzweig hinzuzufügen senkt die benötigte Equity von 63,3 % auf 60,5 %. 99 mit 57,1 % liegt weiterhin unter dieser Linie:

Bounty-bereinigter Call: 0,571 × (261 + 9,06) + 0,429 × 68 − 190 ≈ −7 $

Dieselbe Schwelle über einige Hände:

Hand	Equity gegen die Range	Call bei 60,5 %?
QQ	69,5 %	Ja
JJ	65,3 %	Ja
TT	61,0 %	Ja, knapp
AKs	60,9 %	Ja, knapp
AKo	58,9 %	Nein
99	57,1 %	Nein
AQs	56,7 %	Nein
77	52,2 %	Nein
AJo	51,1 %	Nein
33	42,9 %	Nein

Bei diesem Preis ist die Call-Range etwa TT+ und AKs. Mit dem Kopf von 15 $ verliert der Rest der Liste Geld.

Wann die Bounty die Entscheidung verändert

Die Bounty verschiebt die Schwelle in diesem Spot um 2,8 Punkte. Mehrere andere Eingaben verschieben sie weiter:

Änderung gegenüber dem Ausgangsfall	Benötigte Equity	Entscheidung für 99
Der Kopf des Cutoffs ist 30 $	57,9 %	Fold, um weniger als einen Punkt
Der Kopf des Cutoffs ist 40 $	56,3 %	Call
Der Cutoff shovt 6 bb statt 12 bb	44,1 %	Call
Hero hat 30 bb statt 14 bb	46,0 %	Call
Der Cutoff shovt eine weite Range von 35 %	60,5 % (99 hat 61,9 %)	Call

Ein Kopf von 30 $ senkt die Schwelle auf 57,9 %, was 0,8 Punkte über 99 liegt.
Ein Kopf von 40 $ senkt sie auf 56,3 %, und 99 wird zum Call.
Gegen einen 6-bb-Shove fällt die Schwelle auf 44,1 %, da ein Verlust einen 8-bb-Stack hinterlässt.
Mit 30 bb dahinter liegt die Schwelle bei 46,0 %, da ein Verlust das Turnier nicht mehr beendet.
Gegen eine Shoving-Range von 35 % hat 99 61,9 % Equity und überspringt die Schwelle von 60,5 %.

Die vier Eingaben

Vier Eingaben entscheiden einen Bubble-Call wie diesen:

Chip-EV-Preis. Der Call-Betrag geteilt durch den Endpot. Er setzt den Ausgangspunkt.
ICM-Preis. Baue die Stacks für Fold, Gewinn und Verlust neu auf und vergleiche dann die Preis-Equity. Eine direkte Bubble mit einem kurzen Stack fügt üblicherweise eine zweistellige Risikoprämie hinzu.
Bounty-Wert. Die Hälfte des Kopfes ist Cash. Die hinzugefügte Hälfte ist Turnier-Equity, also weniger wert als der Nennwert.
Ausscheidungsrisiko. Ein Verlust, der einen spielbaren Stack hinterlässt, senkt die ICM-Kosten. Ein Verlust, der 2 bb hinterlässt, erhöht sie.

Sowohl die Bounty als auch die ICM-Kosten gehören in dieselbe Preis-Equity-Rechnung. In diesem Spot verschiebt der Kopf von 15 $ die Schwelle von 63,3 % auf 60,5 %, und 99 braucht weitere 3,4 Punkte. Folden ist etwa 7 $ mehr wert als Callen.

Wie diese Zahlen entstanden sind

Die Stack-Equities nutzen das ICM-Modell von Malmuth-Harville, exakt für die 10 verbleibenden Spieler berechnet. Die Hand-Equities sind geseedete Monte-Carlo-Läufe mit 60.000 Showdowns gegen die genannte Range. Das Progressive-Knockout-Modell zahlt 50 % des Bountys des ausgeschiedenen Spielers in Cash und fügt 50 % dem Bounty des Eliminators hinzu, wobei diese hinzugefügte Hälfte mit dem Chipanteil des Eliminators nach der Hand bewertet wird, der in diesem Spot 20,8 % beträgt. Das Modell deckt eine Hand ab und simuliert keine zukünftigen Spielzustände, behandle es also als Schätzung für eine einzelne Hand. Die Zahlen sind gerundet, Unterschiede unter einem Zehntelpunkt sind also Rauschen.